Linear boundary values of weakly quasiregular mappings

We use a new construction in the spirit of Gromov’s convex integration to prove a rather surprising result that every affine map is the boundary value of a weakly quasiregular map in any Sobolev space with index p < n/2. Our method is based on constructing special Cauchy sequences by convex integration for certain vectorial Hamilton–Jacobi equations.  2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Valeurs aux limites linéaires des applications faiblement quasi régulières Résumé. Nous utilisons une nouvelle construction, dans l’esprit de l’intégration convexe de Gromov, pour prouver un résultat plutôt étonnant selon lequel toute application affine est la valeur frontière d’une application faiblement quasi régulière dans tout espace de Sobolev d’indice p < n/2. Notre méthode est basée sur une construction de suites de Cauchy spéciales, par intégration convexe pour certaines équations vectorielles de Hamilton–Jacobi.  2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Version française abrégée La méthode d’intégration convexe de Gromov [3] a été récemment appliquée avec succès à l’étude de l’existence des équations vectorielles de Hamilton–Jacobi de la forme Du(x) ∈ K , par Müller–Šverák [6,7] (voir aussi [9]). Une approche différente, utilisant la méthode des catégories de Baire, a été étudiée par l’école italienne (voir par exemple Dacorogna–Marcellini [1,2]). Dans cette Note nous montrons comment utiliser des idées de l’intégration convexe pour étudier les problèmes de valeurs aux limites affines pour les applications faiblement quasi régulières dans R. Rappelons (voir par exemple [4,5,10]) qu’une application u d’un domaine Ω de R dans R est dite faiblement L-quasi régulière, où L > 1 est une constante appelée la dilatation (externe) de u, si elle appartient à W loc(Ω;R ) pour une certaine puissance p> 1 et satisfait ∣∣Du(x)∣∣n 6 L det Du(x) p.p. x ∈Ω, Note présentée par Jacques-Louis LIONS. S0764-4442(00)01654-2/FLA  2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 379